2026美赛数学建模(MCM)A题思路分享(附源码，论文)
2026 MCM Problem A：基于连续时间 ODE 的智能手机 SOC 建模与 TTE 预测
完整O奖思路，代码，论文:https://docs.qq.com/doc/DUXZxZHdJQUFjaEVQ?u=edc022ffb79d4046953673727994ab17&no_promotion=1&is_blank_or_template=blank
1. 研究背景与核心逻辑
智能手机的续航预测不仅是一个电量统计问题，更是一个多物理场耦合的动态系统。传统的离散预测难以解释“为什么耗电”以及“温度/老化如何影响续航”。
本思路的核心在于：以 SOC（荷电状态）为状态变量，构建连续时间微分方程（ODE），通过等效电路模型（ECM）将负载功率转化为电流，并引入温度与老化因子对电池参数进行修正，最终实现耗尽时间（TTE）的精准预测。
2. 建模过程详解
2.1 核心状态方程
我们采用库仑计法的连续形式作为模型基石：
dSdt=−I(t)Qeff(T,α),S(t)∈[0,1] rac{dS}{dt} = - rac{I(t)}{Q_{ ext{eff}}(T, lpha)}, quad S(t) in [0,1]dtdS=−Qeff(T,α)I(t),S(t)∈[0,1]
其中，QeffQ_{ ext{eff}}Qeff 是受温度 TTT 和老化因子 αlphaα 共同影响的有效容量。
2.2 电学闭合与非线性求解
为了将用户行为产生的“功耗”转化为“电流”，引入 Thevenin 等效电路：
- 端电压方程：Vterm=Voc(S,T)−I⋅Rint(T,α)V_{ ext{term}} = V_{ ext{oc}}(S, T) - I cdot R_{ ext{int}}(T, lpha)Vterm=Voc(S,T)−I⋅Rint(T,α)
- 功率平衡：Ptot=I⋅VtermP_{ ext{tot}} = I cdot V_{ ext{term}}Ptot=I⋅Vterm
通过联立方程求解电流 I(t)I(t)I(t)，模型能够自动处理由于电压跌落（Voltage Drop）导致的电流上升，这比简单的“功耗/标称电压”预测更符合物理实际。
2.3 分项功耗分解（多因素解耦）
将总功耗 PtotP_{ ext{tot}}Ptot 拆解为可观测、可调节的子项：
- 屏幕功耗：结合点亮占空比与归一化亮度。
- 计算功耗：CPU/GPU 负载的非线性函数。
- 通信功耗：区分 Wi-Fi/LTE/5G 模式，并引入信号强度因子 ϕsigphi_{ ext{sig}}ϕsig。
- 环境与老化：显式建模温度对内阻 RintR_{ ext{int}}Rint 的提升和老化对容量的折减。
3. 场景仿真与敏感性分析
为了验证模型的稳健性，我们预设了“轻办公”、“游戏/热点”、“通勤导航”及“极寒待机”等典型画像。
- TTE 预测：利用数值积分（如 Runge-Kutta 方法）计算 S(t)S(t)S(t) 归零的时间。实验发现，在低电量区间，由于电压曲线变陡，TTE 的下降速度具有明显的非线性特征。
- 敏感性分析：定义归一化敏感度系数。结果显示：高负载场景对 CPU 调度最敏感，而待机场景则对网络信号质量和后台唤醒最敏感。
- 不确定性量化：通过 Monte Carlo 模拟参数波动，给出预测时间的置信区间（如 90% 置信区间），增强了模型在实际波动环境下的参考价值。
4. 优化建议与结论
用户层面：建议优先 Wi-Fi 连接以规避蜂窝弱信号下的功耗放大，并配合限帧模式降低 GPU 峰值消耗。
系统层面：提出“老化感知预测”算法，根据电池健康度动态调整 TTE 显示，并采用无线传输批处理（Batching）策略减少通信尾能耗。
5. 模型评价
- 优势：物理可解释性强，模型参数易于通过 BatteryStats 等工具校准，且具备极高的扩展性（如加入热平衡模型）。
- 局限：目前的功耗加和法忽略了部分复杂的软硬件交互（如热降频策略），未来可加入 DVFS（动态电压频率调整）子模型进行优化。
