P8699 [蓝桥杯 2019 国 B] 排列数|普及+
本文涉及知识点
数论：质数、最大公约数、菲蜀定理
P8699 [蓝桥杯 2019 国 B] 排列数
题目描述
在一个排列中，一个折点是指排列中的一个元素，它同时小于两边的元素，或者同时大于两边的元素。
对于一个
1
∼
n
1 ∼ n
1∼n 的排列，如果可以将这个排列中包含
t
t
t 个折点，则它称为一个
t
+
1
t + 1
t+1 单调排列。
例如，排列
(
1
,
4
,
2
,
3
)
(1, 4, 2, 3)
(1,4,2,3) 是一个
3
3
3 单调排列，其中
4
4
4 和
2
2
2 都是折点。
给定
n
n
n 和
k
k
k，请问
1
∼
n
1 ∼ n
1∼n 的所有排列中有多少个
k
k
k 单调排列？
输入格式
输入一行包含两个整数 n n n, k k k。
输出格式
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，你可需要输出满足条件的排列
数量除以
123456
123456
123456 的余数即可。
输入输出样例 #1
输入 #1
4 2
输出 #1
12
说明/提示
对于 20 % 20 % 20% 的评测用例, 1 ≤ k ≤ n ≤ 10 1 leq k leq n leq 10 1≤k≤n≤10;
对于 40 % 40 % 40% 的评测用例, 1 ≤ k ≤ n ≤ 20 1 leq k leq n leq 20 1≤k≤n≤20; 对于 60 % 60 % 60% 的评测用例, 1 ≤ k ≤ n ≤ 100 1 leq k leq n leq 100 1≤k≤n≤100;
对于所有评测用例， 1 ≤ k ≤ n ≤ 500 1 leq k leq n leq 500 1≤k≤n≤500 。
蓝桥杯 2019 年国赛 B 组 G 题。
数论
通过N排列构建N+1排列
f(a,n)=b 。a是长度为N的排列(以下简称N排列)，b是长度为N+1的排列，
n
∈
[
0
,
N
]
nin[0,N]
n∈[0,N]表示将N+1插入到n处。下面来证明f是单射函数。
一，
n
1
≠
n
2
，则
f
(
a
1
,
n
1
)
≠
f
(
a
2
,
n
2
)
n1
eq n2，则f(a1,n1)
eq f(a2,n2)
n1=n2，则f(a1,n1)=f(a2,n2)。因为
b
1
[
n
1
]
≠
b
2
[
n
2
]
b1[n1]
eq b2[n2]
b1[n1]=b2[n2]。
二，
n
1
=
=
n
2
,
a
1
≠
a
2
→
一定存在
a
1
[
i
1
]
≠
a
2
[
i
1
]
如果
n
1
>
i
1
，则
b
1
[
i
1
]
≠
b
1
[
i
1
]
；否则
b
1
[
i
1
+
1
]
≠
b
1
[
i
1
+
1
]
n1 == n2,a1
eq a2
ightarrow 一定存在a1[i1]
eq a2[i1] 如果n1 > i1，则b1[i1]
eq b1[i1]；否则b1[i1+1]
eq b1[i1+1]
n1==n2,a1=a2→一定存在a1[i1]=a2[i1]如果n1>i1，则b1[i1]=b1[i1]；否则b1[i1+1]=b1[i1+1]。
单调区间
一个排列有k个折点，下标分别为
i
1
,
i
2
⋯
i
k
−
1
,
i
k
i_1,i_2cdots i_k-1,i_k
i1,i2⋯ik−1,ik
则只有两种情况。情况一：
a
[
0...
i
1
]
a
[
i
2
.
.
.
i
3
]
a
[
i
4
.
.
.
i
5
]
⋯
a[0...i_1] a[i_2...i_3] a[i_4...i_5]cdots
a[0...i1]a[i2...i3]a[i4...i5]⋯ 单调递增，其它单调递减。
情况二：
a
[
0...
i
1
]
a
[
i
2
.
.
.
i
3
]
a
[
i
4
.
.
.
i
5
]
⋯
a[0...i_1] a[i_2...i_3] a[i_4...i_5]cdots
a[0...i1]a[i2...i3]a[i4...i5]⋯ 单调递减，其它单调递增。
总结一：共k+1个单调区间，奇偶性相同的区间单调性相同；奇偶性不同的区间单调性不同。
性质一：任意排列c[i]=N+1-a[i] (第k大的数变低k小)，则a、c的单调区间数量相等，单调性相反。我们成ac为一对。
如果a[i] < a[i+1]，则是增加一条右上的线，否则右下的线。则对应以下两种情况：
dp[n][k]n排列共有k个折点的方案数。
情况一：对于任意a，n = N。如果a[N-1] < a[N-2]，则b比a多一个折点N-1；否则折点不变。
情况二：n==0,如果a[0] < a[1]，折点+1，否则折点不变。
总结二：对每对方案，情况一情况二折点不变和折点加+1的方案数一样。即：
dp[n+1][k] += dp[n][k] dp[n+1][k+1] += dp[n][k]
情况三：除去情况一二，我们可以看成边上加一点。令在边i,i+1间插入N+1。
mi = min(a[i],a[i+1]) ma = max(a[i],a[i+1])。
由于mi小于ma，故mi不会是大折点。
如果mi是小折点，则N+1代替a[ma]后，仍然是小折点。故无需讨论mi。
如果ma是大折点，则插入后。 ma不再是大折点。N+1变成大折点。一对方案，共K个大折点，共2k条边。故：dp[n][k] += dp[n][k] *k。
如果ma是a[0]或a[N-1]，插入后，ma不是折点。N+1是折点，故折点+1。dp[n+1][k+1] += dp[n][k]
如果ma不是a[0]和a[N-1]，插入后。ma和N+1都是折点，折点+2。
总结三：f函数执行后，折点可能不变，+1,+2。
总方案数：n+1
折点不变的方案数：1+k
折点+1的方案数：2
折点+2的方案数：
(
n
+
1
)
−
(
1
+
k
)
−
2
=
n
−
k
−
2
(n+1)-(1+k)-2=n-k-2
(n+1)−(1+k)−2=n−k−2
代码
核心代码
#include
#include
#include 单元测试
TEST_METHOD(TestMethod11)
{
auto res = Solution().Ans(4,2);
AssertEx(12, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod12)
{
auto res = Solution().Ans(2, 1);
AssertEx(2, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod13)
{
auto res = Solution().Ans(1, 1);
AssertEx(1, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod14)
{
auto res = Solution().Ans(1, 2);
AssertEx(0, res);
}
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https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
