【MIMO-OFDM系列】一、无线信道特性
无线信道特性
- 概述
- 大尺度衰落
- 一般路径损耗模型
- Okumura/Hata模型
- IEEE 802.16d模型
- 小尺度衰落
- 小尺度衰落参数
- 时间色散和频率色散衰落
- 时间色散效应引起的衰落——频率选择性衰落信道
- 频率色散效应引起的衰落——时间选择性衰落信道
- 衰落信道的统计特性和产生
- 衰落信道统计特性
- 衰落信道的生成
无线通信系统的性能主要由无线信道环境决定。与有线信道静态和可预测的典型特点相反，无线信道是动态且不可预测的，这就增加了对无线通新系统进行精确分析的难度。
概述
在无线通信系统中，无线传播是指无线电波从发射机传播到接收机的行为。在传播过程中，无线电波主要受三种物理现象的影响：反射、绕射和散射。
- 反射是指电磁波在传播的过程中遇到一个尺寸远大于其波长的物理（如地球和建筑物表面）而产生的物理现象。它使信号功率被反射回发射端，而不是完全沿着去往接收端的路径传播；
- 绕射/衍射是指发射机和接收机之间的无线路径被尖锐、不规则的物理表面或小的缺口（洞）阻挡而发生的物理现象。即使不存在可视路径，通过衍射产生的二次波也可以建立一条从发射端到接收端的路径；
- 散射是由一个而活着多个尺寸远小于其波长的本地障碍物引起电磁波偏离原来传播方向的物理现象。引起散射的这些障碍物，如植物、路标、灯柱等，被称为散射体。
无线信道具有典型的"衰落"特征，表现为信号幅度随时间和频率的波动。信号劣化主要来自加性噪声和衰落两种机制，其中衰落会在无线信道中产生非加性的信号干扰。根据成因不同，衰落可分为两类：由多径传播导致的**多径衰落，以及由障碍物遮蔽引起的阴影衰落**。
衰落现象大致可以分为两种类型：大尺度衰落和小尺度衰落。当移动设备通过一段较长的距离时（如小区大小的距离）会产生大尺度衰落。它是由信号的路径损耗（关于距离的函数）和大的障碍物（如建筑物、中间地形和植物）形成的阴影所引起的。阴影衰落是一种慢衰落过程，描述接收机和发射机之间的中等路径损耗的波动特性。换句话说，大尺度衰落的特性由平均路径损耗和阴影衰落来描述。另一方面，小尺度衰落是指当移动台在较短距离内移动时，由多条路径的相消或相长干涉引起信号电平的快速波动。根据多径时延的相对扩展，用信道的频率选择性（如频率选择的或频率平坦的）来描述小尺度衰落的特性。此外，根据信道在时间上的波动（用多普勒扩展描述），短期衰落可以分为快衰落和慢衰落。
大尺度衰落和小尺度衰落的关系如下图所示。大尺度衰落表现为平均路径损耗和阴影衰落，平均路径损耗随着建立的增加而增加，阴影衰落沿着平均路径损耗变化。由于船舶路径上的障碍物会引起阴影衰落，即时域发射机的距离相同，接收信号的强度也可能是不同的。此外，散射分量会引起小尺度衰落，经历阴影衰落之后的信号将产生短期波动。
大尺度衰落
一般路径损耗模型
自由空间传播模型适用于视距（Line-of-Sight，LOS）环境下信号强度的预测，即发射机与接收机之间不存在障碍物的情况。该模型在卫星通信系统中应用广泛。设 d d d为发射机与接收机之间的距离（单位：米），当使用各向异性天线时，若发射天线增益为 G t G_t Gt，接收天线增益为 G r G_r Gr，则距离 d d d处的接收信号功率 P r ( d ) P_r(d) Pr(d)可通过著名的Friis公式计算得出。
P r ( d ) = P t G t G r λ 2 ( 4 π ) 2 d 2 L P_r(d)= rac{P_tG_tG_rlambda^2}{(4pi)^2d^2L} Pr(d)=(4π)2d2LPtGtGrλ2
其中， P t P_t Pt表示发射功率（单位：W）， λ λ λ为发射波长（单位：m）， L L L代表与传播环境无关的系统损耗系数。该系数反映了硬件系统的整体衰减情况，包括传输线、滤波器和天线等组件的损耗。通常情况下， L > 1 L>1 L>1；当假设系统硬件无损耗时， L = 1 L=1 L=1。从上式可以明显看出，接收功率随距离 d d d呈指数衰减规律。对于自由空间路径损耗 P L f ( d ) PL_f(d) PLf(d)，即在无系统损耗情况下的损耗值，可直接取上式中 L = 1 L=1 L=1获得。
P L F ( d ) [ dB ] = 10 l o g 10 ( P t P r ) = − 10 l o g 10 ( G t G r λ 2 ( 4 π ) 2 d 2 ) PL_F(d)[ ext{dB}]=10log_{10}( rac{P_t}{P_r})=-10log_{10}( rac{G_tG_rlambda^2}{(4pi)^2d^2}) PLF(d)[dB]=10log10(PrPt)=−10log10((4π)2d2GtGrλ2)
当没有天线增益时：
P L F ( d ) [ dB ] = 20 l o g 10 ( 4 π d λ ) PL_F(d)[ ext{dB}]=20log_{10}( rac{4pi d}{ lambda}) PLF(d)[dB]=20log10(λ4πd)
下图展示了载波频率 f = 1.5 G H z f=1.5GHz f=1.5GHz时，不同天线增益下的自由空间路径损耗随距离变化的情况。
// 自由空间路径损耗模型
function PL = PL_free(fc,dist,Gt,Gr)
%% 输入
% fc ：载波频率[Hz]
% dist ：基站和移动台之间的距离[m]
% Gt ：发射机天线增益
% Gr ：接收机天线增益
%% 输出
% PL ：路径损耗[dB]
lamda = 3e8/fc;
tmp = lamda./(4*pi*dist);
if nargin > 2, tmp = tmp * sqrt(Gt);end
if nargin > 3, tmp = tmp * sqrt(Gr);end
PL = -20*log10(tmp);
可以看出，当天线增益降低时，路径损耗会相应增大。与自由空间路径损耗类似，在实际环境中，平均接收信号功率都随传输距离 d d d呈对数衰减。通过引入环境相关的路径损耗指数 n n n，可以对自由空间路径损耗模型进行修正，建立更通用的路径衰落模型，即著名的对数距离路径损耗模型：
P L L D ( d ) [ dB ] = P L F ( d 0 ) + 10 n log 10 ( d d 0 ) PL_{LD}(d)[ ext{dB}]=PL_F(d_0)+10n ext{log}_{10}( rac{d}{d_0}) PLLD(d)[dB]=PLF(d0)+10nlog10(d0d)
其中，参考距离 d 0 d₀ d0是一个关键参数。在参考距离或其邻近区域，路径损耗呈现自由空间损耗特性。如下表所示，路径损耗指数 n n n主要取决于传播环境，取值范围为 2 6 2~6 2 6，其中 n = 2 n=2 n=2对应自由空间传播。当环境中障碍物增多时， n n n值会相应增大。
针对不同传播环境，需要合理设置参考距离 d 0 d₀ d0。例如：
- 大覆盖范围的蜂窝系统（半径＞10km）通常设置 d 0 = 1 k m d₀=1km d0=1km
- 宏蜂窝系统（小区半径约1km）建议设置 d 0 = 100 m d₀=100m d0=100m
- 微蜂窝系统（极小半径）可设置 d 0 = 1 m d₀=1m d0=1m
// 对数距离或对数阴影路径损耗模型
function PL = PL_logdist_or_norm(fc,d,d0,n,sigma)
%% 输入
% fc ：载波频率[Hz]
% d ：基站和移动台之间的距离[m]
% d ：参考距离[d]
% n ：路径损耗指数
% sigma ：方差[dB]
%% 输出
% PL ：路径损耗[dB]
lamda = 3e8/fc;
PL = -20*log10(lamda/(4*pi*d0)+10*n*log10(d/d0);
if nargin > 4
PL = PL + sigma * randn(size(d));
end
上图展示了上式在载波频率 f = 1.5 G H z f=1.5GHz f=1.5GHz下的对数距离路径损耗特性。如图所示，路径损耗随路径损耗指数 n n n的增加而显著增大。值得注意的是，由于接收机所处环境的差异，即使发射机与接收机之间的距离相同，各条路径也会呈现不同的路径损耗特性。然而，前述路径损耗模型均未考虑这一实际情况。为更准确地描述真实环境，采用 对数正态阴影模型 更为合适。该模型引入均值为0、标准差为 σ sigma σ的高斯随机变量 X σ X_sigma Xσ。来表示阴影衰落效应。
P L ( d ) [ d B ] = P L ˉ ( d ) + X σ = P L F ( d 0 ) + 10 n log 10 ( d d 0 ) + X σ PL(d) ext[dB]=ar {PL}(d)+X_sigma=PL_F(d_0)+10n ext{log}_{10}( rac{d}{d_0})+X_sigma PL(d)[dB]=PLˉ(d)+Xσ=PLF(d0)+10nlog10(d0d)+Xσ
简而言之，该模型允许相同距离 d d d处的接收机呈现不同的路径损耗特性，这些差异由随机阴影变量 X σ X_sigma Xσ决定。下图展示了服从对数正态阴影模型的路径损耗情况（参数设定： f = 1.5 G H z , σ = 3 d B , n = 2 f=1.5GHz,σ=3dB,n=2 f=1.5GHz,σ=3dB,n=2）。如图所示，确定性对数路径损耗模型上明显叠加了阴影效应带来的随机波动。
% plot_PL_general.m
clear all, clf, clc
fc = 1.5e9;
d0 = 100;
sigma = 3;
distance = [1:2:31].^2;
Gt = [1 1 0.5];
Gr = [1 0.5 0.5];
Exp = [2 3 6];
for k = 1 : 3
y_Free(k,:) = PL_free(fc,distance,Gt(k),Gr(k));
y_logdist(k,:) = PL_logdist_or_norm(fc,distance,d0,Exp(k));
y_lognorm(k,:) = PL_logdist_or_norm(fc,distance,d0,Exp(1),sigma);
end
subplot(131);
semilogx(distance,y_Free(1,:),'k-o',distance,y_Free(2,:),'k-^',distance,y_Free(3,:),'k-s');
grid on, axis([1 1000 40 110]);
title(['Free PL-loss Model,f_c=',num2str(fc/1e6),'MHz']);
xlable('Distance[m]'),ylabel('[Path loss[dB]]');
legend('Gt=1,Gr=1','Gt=1,Gr=0.5','Gt=0.5,Gr=0.5',2);
subplot(132);
semilogx(distance,y_lognorm(1,:),'k-o',distance,y_lognorm(2,:),'k-^',distance,y_lognorm(3,:),'k-s');
grid on, axis([1 1000 40 110]);
title(['Log-normal PL-loss Model,f_c=',num2str(fc/1e6),'MHz']);
xlable('Distance[m]'),ylabel('[Path loss[dB]]');
legend('n=2','n=3','n=6',2);
subplot(133);
semilogx(distance,y_logdist(1,:),'k-o',distance,y_logdist(2,:),'k-^',distance,y_logdist(3,:),'k-s');
grid on, axis([1 1000 40 110]);
title(['Log-distance PL-loss Model,f_c=',num2str(fc/1e6),'MHz']);
xlable('Distance[m]'),ylabel('[Path loss[dB]]');
legend('path 1','path 2','path 3',2);
Okumura/Hata模型
Okumura模型是通过广泛实验得到的应用于移动通信系统的信道模型，而且这种模型考虑了天线高度和地区覆盖类型。在预测城市地区路径损耗的所有模型中,Okumura模型是被采用最多的一种,主要适用于载波范围为500-1500MHz，小区半径为1-100km，天线高度为30~1000m的移动通信系统。Okumura模型中的路径损耗可以表示为
P L o k ( d ) [dB] = P L F + A M U ( f , d ) − G R x − G T x + G A R E A PL_{ok}(d) ext{[dB]}=PL_F+A_{MU}(f,d)-G_{Rx}-G_{Tx}+G_{AREA} PLok(d)[dB]=PLF+AMU(f,d)−GRx−GTx+GAREA
其中， A M U ( f , d ) A_{MU}(f,d) AMU(f,d)为频率 f f f处的中等起伏衰减因子， G R x G_{Rx} GRx和 G T x G_{Tx} GTx分别为接收和发射天线的增益， G A R E A G_{AREA} GAREA为具体地区的传播环境增益。这里，天线增益 G R x G_{Rx} GRx、和 G T x G_{Tx} GTx、仅仅是天线高高度的函数，并不考虑天线方向图等其他因素。此外,从Okumura实测得到的经验图中可以查得 A M U ( d ) A_{MU}(d) AMU(d)和 G A R E A G_{AREA} GAREA。
Hata模型将Okumura模型扩展到各种传播环境，包括城市、郊区和开阔地。实际上，Hata模型是当今最常用的路径损耗模型。对于发射天线高度为 h T x h_{T_x} hTx[m]，载波频率为 f e f_e fe[MHz]，距离为 d d d[m]，在市区环境中Hata模型的路径损耗为
P L H a t a , U ( d ) [dB] = 69.55 + 26.16 log 10 f c − 13.82 log 10 h T x − C R x + ( 44.9 − 6.55 log 10 h T x ) log 10 d PL_{Hata,U}(d) ext{[dB]}=69.55+26.16 ext{log}_{10}f_c-13.82 ext{log}_{10}h_{T_x}-C_{R_x}+(44.9-6.55 ext{log}_{10}h_{T_x}) ext{log}_{10}d PLHata,U(d)[dB]=69.55+26.16log10fc−13.82log10hTx−CRx+(44.9−6.55log10hTx)log10d
其中， C R x C_{Rx} CRx为与接收天线相关的系数,取决于覆盖范围的大小。对于中等大小的覆盖范围， C R x C_{Rx} CRx取值为
C R x = 0.8 + ( 1.1 log 10 f c − 0.7 ) h R x − 1.56 log 10 f c C_{Rx}=0.8+(1.1 ext{log}_{10} f_c - 0.7)h_{Rx} -1.56 ext{log}_{10}f_c CRx=0.8+(1.1log10fc−0.7)hRx−1.56log10fc
其中， h R x [ m ] 为接收天线的高度。对于大的覆盖范围， h_{R_x}[m]为接收天线的高度。对于大的覆盖范围， hRx[m]为接收天线的高度。对于大的覆盖范围，C_{Rx}$取决于载波频率,例如:
C R x = { 8.29 ( log 10 ( 1.54 h R x ) ) 2 − 1.1 , 150 M H z ≤ f c ≤ 200 M H z 3.2 ( log 10 ( 11.75 h R x ) ) 2 − 4.77 , 200 M H z ≤ f c ≤ 1500 M H z C_{Rx}=left{egin{matrix} 8.29( ext{log}_{10}(1.54h_{Rx}))^2-1.1,150MHzle f_c le 200MHz 3.2( ext{log}_{10}(11.75h_{Rx}))^2-4.77,200MHzle f_c le 1500MHz end{matrix} ight. CRx={8.29(log10(1.54hRx))2−1.1,150MHz≤fc≤200MHz3.2(log10(11.75hRx))2−4.77,200MHz≤fc≤1500MHz
对于郊区和开阔地,Hata模型分别表示为
P L H a t a , S U ( d ) [dB] = P L H a t a , U ( d ) − 2 ( log 10 f c 28 ) 2 − 5 , 4 PL_{Hata,SU}(d) ext{[dB]}= PL_{Hata,U}(d) -2( ext{log}_{10} rac{f_c}{28})^2-5,4 PLHata,SU(d)[dB]=PLHata,U(d)−2(log1028fc)2−5,4
和
P L H a t a , U ( d ) [dB] = P L H a t a , U ( d ) − 4.78 ( log 10 f c ) 2 + 18.33 log 10 f c − 40.97 PL_{Hata,U}(d) ext{[dB]} = PL_{Hata,U}(d)-4.78( ext{log}_{10}f_c)^2+18.33 ext{log}_{10}f_c-40.97 PLHata,U(d)[dB]=PLHata,U(d)−4.78(log10fc)2+18.33log10fc−40.97
由于障碍物更为密集,与其他地区相比,城市的路径损耗最大。
IEEE 802.16d模型
IEEE802.16d模型属于对数正态阴影路径损耗模型。根据郊区宏蜂窝中发射机和接收机之间的障碍物密度(按照树密度)，可以将其分为三种类型(类型A、E3、C)。下表描述了这三种类型，其中ART和BRT分别表示屋顶上方和屋顶下方。
IEEE 802.16d的路径损耗模型为
P L 802.16 ( d ) [dB] = P L F ( d 0 ) = 10 γ log 10 ( d d 0 ) + C f + C R x , d > d 0 PL_{802.16}(d) ext{[dB]}=PL_F(d_0)=10gamma ext{log}_{10}( rac{d}{d_0})+C_f+C_{Rx},d>d_0 PL802.16(d)[dB]=PLF(d0)=10γlog10(d0d)+Cf+CRx,d>d0
其中， d 0 = 100 d_0=100 d0=100m， γ = a − b h T x + c / h T x gamma=a-bh_{Tx}+c/h_{Tx} γ=a−bhTx+c/hTx。a，b，为参数如下表所示，可以根据不同的信道类型取不同的值。
h T x h_{Tx} hTx为发射天线高度（典型的取值范围为10~80m）， C f C_f Cf为与载波频率 f c f_c fc[MHz]相关的系数。
C f = 6 log 10 ( f c / 2000 ) C_f=6 ext{log}_{10}(f_c/2000) Cf=6log10(fc/2000)
C R x C_{Rx} CRx为与接收天线相关的系数
小尺度衰落
小尺度衰落是指在短时间内，当移动台移动较小距离时接收信号出现的快速波动现象。这种现象主要由多径传播引起——当多个信号以不同相位到达接收天线时，会产生相长或相消干涉。具体来说，来自周围散射体的多个信号的相位关系决定了接收信号的强度变化。此外，这些多径信号的变化还取决于移动台及周边物体的运动速度。综合来看，影响小尺度衰落的主要因素包括：多径传播效应、移动台移动速度、周边物体运动速度以及信号传输带宽。
小尺度衰落参数
经常用功率时延分布(Power Delay Profile，PDP) 描述多径衰落信退的特征。下表给出了一个PDP的例子：ITU-R步行信道模型，其中4个多径信号的特征由它们的相对时延和平均功率来描述。此处,相对时延是一个关于参考时间的过量时延,而每多条路径的平均功率由第一条路径(抽头)的功率归一化后给出。
平均过量时延和均方根(Root Mean Square，RMS) 时延扩展是非常有用的信道参数,它们为比较不同的多径衰落信道提供了参考,并且为设计无线传输系统是供了一个大体的指导方针。令 τ k au_k τk、 a k a_k ak和 P ( τ k ) P( au_k) P(τk)分别表示第 k k k条路径的信道时延、幅度和功率，然后由PDP的一阶矩给出平均过量时延 τ ˉ ar au τˉ：
τ ˉ = ∑ k a k 2 τ k ∑ k a k 2 = ∑ k τ k P ( τ k ) ∑ k P ( τ k ) ar au= rac{sum limits_{k}a_k^2 au_k}{sum limits_{k}a_k^2}= rac{sum limits_{k} au_kP( au_k)}{sum limits_{k}P( au_k)} τˉ=k∑ak2k∑ak2τk=k∑P(τk)k∑τkP(τk)
此外，由PDP的二阶中心距的平方根给出RMS时延扩展 σ τ sigma_ au στ
σ τ = τ 2 ˉ − ( τ ˉ ) 2 sigma_ au=sqrt{ar { au^2}-(ar au)^2} στ=τ2ˉ−(τˉ)2
其中，
τ ˉ = ∑ k a k 2 τ k 2 ∑ k a k 2 = ∑ k τ k 2 P ( τ k ) ∑ k P ( τ k ) ar au= rac{sum limits_{k}a_k^2 au_k^2}{sum limits_{k}a_k^2}= rac{sum limits_{k} au_k^2P( au_k)}{sum limits_{k}P( au_k)} τˉ=k∑ak2k∑ak2τk2=k∑P(τk)k∑τk2P(τk)
总的来说，相干带宽（记为 B c B_c Bc）与RMS时延扩展成反比，即
B c ≈ 1 σ τ B_c pprox rac{1}{sigma_ au} Bc≈στ1
上式会随相干带宽的定义不同而不同。例如，当相干带宽定义为相干函数大于等于0.9所对应的带宽时，相干带宽和RMS时延扩展的关系为
B c ≈ 1 50 σ τ B_c pprox rac{1}{50sigma_ au} Bc≈50στ1
当相干带宽定义为相关函数大于等于0.5所对应的带宽时，他们的关系为
B c ≈ 1 5 σ τ B_c pprox rac{1}{5sigma_ au} Bc≈5στ1
时间色散和频率色散衰落
当移动台移动时，接收信号衰落的具体类型由传输方案和信道特点决定。传输方案由信号的参数确定，如信号带宽和符号周期。无线信道的特点由两种不同的的信道参数描述,它们是多径时延扩展和多普勒扩展。多径时延扩展和多普勒扩展分别引起时间色色散效应和频率色散效应。根据时间色散的程度或频率色散的程度，它们将分别引起频率选择性衰落或时间选择性衰落
时间色散效应引起的衰落——频率选择性衰落信道
由于时间色散效应，发射信号在频域会经历选择性或非选择性衰落，分别称为频率选择性衰落和非频率选择性衰落。信道频率响应的选择性特征主要由信号带宽决定。如下图所示，信号带宽会显著影响信道特性。由于多径效应导致时间扩展，信道频率响应会随频率变化而变化。当信号带宽较小时，信号经过平坦的信道频率响应，呈现非频率选择性衰落；当信号带宽较大时，信号会被有限的信道带宽滤波，呈现频率选择性衰落。
如上图(a)所示，当信道频率响应在 通频带内 保持恒定幅度和线性相位，且信道带宽大于信号带宽时，接收信号将经历非频率选择性衰落。此时信号带宽内的信道幅度恒定，故也称为平坦衰落。窄带信号（符号周期 T T T远大于多径信道 h ( 1 , τ ) h(1,τ) h(1,τ)的时延 τ τ τ）会表现出这种特性。当 T T T大于时延 τ τ τ时，当前符号对后续符号影响较小，符号间干扰(ISI)不明显。若信号带宽远小于信道带宽，即使非频率选择性衰落信道中存在慢时变振幅，仍可称为窄带信道。综上，发射信号呈现非频率选择性衰落的条件为：
B s ≪ B c 且 T s ≫ σ τ B_s ≪ B_c 且 T_s ≫ σ_τ Bs≪Bc且Ts≫στ
其中 B s B_s Bs和 T T T分别表示信号带宽和符号周期， B c B_c Bc和 σ τ σ_τ στ分别表示相干带宽和RMS时延扩展。
当信道频率响应仅在比信号带宽 更窄 的范围内保持恒定幅度和线性相位时，信号将经历频率选择性衰落。此时信道脉冲响应的时延扩展超过信号符号周期，导致信号多径分量与后续符号显著重叠，产生符号间干扰。"频率选择性信道"的命名源于其频率响应幅度随频率变化的特性。
如上图(b)所示，由于信道时延扩展 σ σ σ显著大于符号周期 T T T，导致严重的时域ISI现象。这表明信号带宽 B s B_s Bs超过了相干带宽 B c B_c Bc，接收信号的频率响应呈现不均匀的幅度变化（即经历了频率选择性衰落）。当信号带宽大于信道脉冲响应带宽时，这类信道通常被称为宽带信道。综上可得，发射信号在满足以下条件时将产生频率选择性衰落：
B s > B c B_s > B_c Bs>Bc和 T < σ τ T < sigma_ au T<στ
值得注意的是，虽然信道衰落特性与调制方式相关，但只要满足 σ > 0.1 T σ > 0.1T σ>0.1T，即可判定为频率选择性衰落。
频率色散效应引起的衰落——时间选择性衰落信道
根据多普勒扩展的程度，接收信号会经历快衰落或慢衰落。在快衰落信道中，相干时间比符号的周期小，因此在一个符号周期内信道脉冲响应快速变化。信号在时域的波动与发射机和接收机之间的相对运动密切相关。相对运动引起信号在频域的扩展，称为 多普勒频移。令 f m f_m fm为最大的多普勒频移， B d B_d Bd为多普勒频谱带宽，满足 B d = 2 f m B_d=2f_m Bd=2fm。总的来说，相干时间(记为 T c T_c Tc)与多普勒扩展成反比，即
T c ≈ 1 B d T_cpprox rac{1}{B_d} Tc≈Bd1
T
>
T
c
T>T_c
T>Tc说明
B
s
<
B
d
B_s
T
<
T
c
T
另外，考虑信道的脉冲响应比基带发射信号变化缓慢的情形。假设信道在一个或者多个符号周期内不变，称之为静态信道。这说明多普勒扩展比基带发射信号的带宽小很多。总之，发射信号满足下面的条件时经历慢衰落:
T ≪ T c Tll T_c T≪Tc和 B s ≫ B d B_sgg B_d Bs≫Bd
当定义相干时间为相关函数大于0.5所对应的时间时变为
T c ≈ 9 16 π f m T_cpprox rac{9}{16pi f_m} Tc≈16πfm9
T c ≈ 1 B d T_cpprox rac{1}{B_d} Tc≈Bd1是在瑞利衰落信号变化十分缓慢的假设条件下得到的，而式 T c ≈ 9 16 π f m T_cpprox rac{9}{16pi f_m} Tc≈16πfm9是在信号变化非常迅速的假设条件下得到的。最常见的相干时间定义是由两式的几何平均给出的：
T c = 9 16 π f m 2 = 0.423 f m T_c=sqrt{ rac{9}{16pi f_m^2}}= rac{0.423}{f_m} Tc=16πfm29=fm0.423
需要重点指出，快衰落或慢衰落与时间色散衰落没有关系。换句话说，无线信道的频率选择性不能仅仅从信道快衰落或慢衰落的特点来判断。因为快衰落仅仅是由于移动终端运动而带来的信道变化。
衰落信道的统计特性和产生
衰落信道统计特性
Clarke提出了衰落信道的统计模型，即在移动台通过一个散射环境时，用统计的方式描述移动台接收信号的电磁场特点。在Clarke模型中，有 N N N个具有任意意相位的平面波，每一个平面波以任意的方向到达,且所有平面波的平均功率相同。
如上图所示，一个平面波以角度 θ heta θ(与移动台运动方向之间的夹角)到达，其中移动台的速度为 v v v，波沿 x − y x-y x−y平面上的水平方向到达，由于移动台的运动，到达接收机的所有平面波都会经历多普勒频移。令 x ( t ) x(t) x(t)为基带发射信号,则相应的通频带发射信号为
x ~ ( t ) = R e [ x ( t ) e j 2 π f c t ] ilde x(t)=Re[x(t)e^{j2pi f_ct}] x~(t)=Re[x(t)ej2πfct]
其中， R e [ s ( t ) ] Re[s(t)] Re[s(t)]表示 s ( t ) s(t) s(t)的实部。通过具有I条传播路径的散射信道后(其中每条路径具有不同的多普勒频移),通频带接收信号可以表示为
y ~ ( t ) = R e [ ∑ i = 1 I C i e j 2 π ( f c + f i ) ( t − τ i ) x ( t − τ i ) ] = R e [ y ( t ) e j 2 π f c t ] ilde y(t)=Re[sum limits_{i=1}^{I}C_ie^{j2pi (f_c+f_i)(t- au_i)}x(t- au_i)]=Re[y(t)e^{j2pi f_ct}] y~(t)=Re[i=1∑ICiej2π(fc+fi)(t−τi)x(t−τi)]=Re[y(t)ej2πfct]
其中， C i C_i Ci、 τ i au_i τi，和 f i f_i fi分别表示第 i i i条传播路径的信道增益、时延和多普勒频移。给定移动台的速度 v v v和波长 λ lambda λ，多普勒频移可以表示为
f i = f m c o s θ i = v λ c o s θ i f_i=f_mcos heta_i= rac{v}{lambda}cos heta_i fi=fmcosθi=λvcosθi
其中， f m f_m fm为最大多普勒频移， θ i heta_i θi为第 i i i个平面波的到达角度(AngleofArrival, AOA)。
基带接收信号可以表示为
y ( t ) = ∑ i = 1 I C i e − j ϕ i ( t ) x ( t − τ ; ) y(t)=sum limits_{i=1}^{I}C_ie^{-jphi_i(t)}x(t-τ;) y(t)=i=1∑ICie−jϕi(t)x(t−τ;)
其中， ϕ i ( t ) = 2 ϕ { ( f c + f i ) τ i − f i t i } phi_i(t)=2phileft{(f_c+f_i) au_i-f_it_i ight} ϕi(t)=2ϕ{(fc+fi)τi−fiti}。因此，相应的基带信道可以建模为个线性时变滤波器,该滤波器具有如下的复基带脉冲响应：
h ( t : τ ) = ∑ i = 1 I C i e − j ϕ i ( t ) δ ( t − τ i ) h(t: au)=sum limits_{i=1}^{I}C_ie^{-jphi_i(t)}delta(t- au_i) h(t:τ)=i=1∑ICie−jϕi(t)δ(t−τi)
其中， δ ( ⋅ ) delta(cdot) δ(⋅)为狄拉克函数。只要路径的时延差比采样周期 T s T_s Ts，小很多，路径时延 τ i au_i τi，就可以近似为 τ ^ hat au τ^。那么，可以表示为
h ( t ; τ ) = h ( t ) δ ( t − τ ^ ) h(t; au)=h(t)delta(t-hat au) h(t;τ)=h(t)δ(t−τ^)
假设 x ( t ) = 1 x(t)=1 x(t)=1，则通频带接收信号 y ~ ( t ) ilde y(t) y~(t)可以表示为
y ~ ( t ) = R e [ y ( t ) e j 2 π f c t ] = R e [ { h I ( t ) + j h Q ( t ) } e j 2 π f c t ] = h I ( t ) c o s 2 π f c t − h Q ( t ) s i n 2 π f c t ilde y(t)=Re[y(t)e^{j2pi f_ct}]=Re[left{h_I(t)+jh_Q(t) ight}e^{j2pi f_ct}]=h_I(t)cos2pi f_ct-h_Q(t)sin2pi f_ct y~(t)=Re[y(t)ej2πfct]=Re[{hI(t)+jhQ(t)}ej2πfct]=hI(t)cos2πfct−hQ(t)sin2πfct
其中， h I ( t ) h_I(t) hI(t)和 h Q ( t ) h_Q(t) hQ(t)分别为 h ( t ) h(t) h(t)的同相和正交分量
h I ( t ) = ∑ i = 1 I C i c o s ϕ i ( t ) h_I(t)=sum limits_{i=1}^{I}C_icosphi_i(t) hI(t)=i=1∑ICicosϕi(t)
h Q ( t ) = ∑ i = 1 I C i s i n ϕ i ( t ) h_Q(t)=sum limits_{i=1}^{I}C_isinphi_i(t) hQ(t)=i=1∑ICisinϕi(t)
假设 I I I足够大,由中心极限定理可知，上式中的 h I ( t ) h_I(t) hI(t)和 h Q ( t ) h_Q(t) hQ(t)可以分别近似为高斯随机变量。因此，经过具有大量散射分量的多名信道后，接收信号的幅度 y ~ ( t ) = h I 2 ( t ) + h Q 2 ( t ) ilde y(t)=sqrt{h_I^2(t)+h_Q^2(t)} y~(t)=hI2(t)+hQ2(t)服从瑞利分布。
此外，如果有一部分分量明显强于其他分量，那么衰落过程将不再服从瑞丽分布。在这种情况下，接收信号的幅度 y ~ ( t ) = h I 2 ( t ) + h Q 2 ( t ) ilde y(t)=sqrt{h_I^2(t)+h_Q^2(t)} y~(t)=hI2(t)+hQ2(t)服从莱斯分布，相应的衰落过程成为莱斯衰落。通常，最强的散射分量对应于LOS分量（镜像分量）。除了LOS分量外，其他分量都视为非视线（Non-line-of-sight，NLOS）（散射分量）。令 p ~ ( θ ) ilde p( heta) p~(θ)表示散射分量的AOA的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）， θ 0 heta_0 θ0表示反射后的镜像分量到达角，那么所有分量的AOA的PDF为：
p ( θ ) = 1 K + 1 p ~ ( θ ) + K K + 1 δ ( θ − θ 0 ) p( heta)= rac{1}{K+1} ilde p( heta)+ rac{K}{K+1}delta( heta- heta_0) p(θ)=K+11p~(θ)+K+1Kδ(θ−θ0)
其中， K K K是莱斯因子，定义为镜像分量功率 c 2 c^2 c2和散射分量功率 2 σ 2 2sigma^2 2σ2之比：
K = c 2 2 σ 2 K= rac{c^2}{2sigma^2} K=2σ2c2
衰落信道的生成
总的来说,无论室内或者室外信道，任何无线信道的传播环境境都服从LOS或NLOS。从上节中可知，LOS环境中接收信号的PDF服从莱斯分布，而NLOS环境中接收信号的PDF服从瑞利分布，下图描述了LOS和NLOS环境。
无线信道传播环境中的接收信号可以认为是来自无穷多个散射体的信号总和。根据中心极限定理，可以用一个高斯随机变量来表示接收信号。换句话说，在上图所示的衰落环境中，无线信道可以由一个复高斯随机变量 W 1 + j W 2 W_1+jW_2 W1+jW2表示，其中 W 1 W_1 W1和 W 2 W_2 W2是均值为0、方差为 σ 2 sigma^2 σ2的独立同分布的(i.i.d.)高斯随机变量。令 X X X表示复高斯随机变量 M + j M M+jM M+jM，其幅度为 X = W 1 2 + W 1 2 X=sqrt{W_1^2+W_1^2} X=W12+W12。X是瑞利随机变量，其PDF为
f X ( x ) = x σ 2 e − x 2 2 σ 2 f_X(x)= rac{x}{sigma^2}e^{- rac{x^2}{2sigma^2}} fX(x)=σ2xe−2σ2x2
