求职面试中的线代知识总结

2026-02-06 16:01:23 栏目：最新资讯 4 阅读

我们在此处总结一些AI岗求职过程中常用的线性代数知识。对于这方面的考察一般是以笔试的选择题为主，暂时来说还没有期末考试那样需要你进行一阵复杂的计算得出结论的东西，总体而言就是掌握主要的概念和知识点，解决简单的问题即可。

首先，我们先说明线代的产生背景。对于简单的二元一次方程组来说，只需要简单的消元就可以得到解。但是对于多个未知数、列出了多个方程的方程组，这样我们把他们的系数都提出来，就可以形成一个矩阵。矩阵是行和列可以不相等的，行就是式子的数量，列就是未知数的数量，这两个是可以不相等的，大不了就有无穷多解嘛，就解不出来唯一解嘛。

而行列式是一个数，他是行列数必须相等的。他是一种特殊的计算方式，方便了矩阵的运算。事实上，当行列式存在且不等于0的时候，矩阵有唯一解，因为行列式在解里面作分母。行列式等于0是什么情况呢？第一种就是其中有部分式子是等价的，所以行列数其实是不相等的，只是那么写骗你一下，所以没有唯一解；第二种情况就是其中有冲突条件导致无解。

行列式的计算方法应该听过就不会忘，就是对角线法则，相乘之后相加减。还有一些常见的性质可以快速过一下：转置后行列式相等、交换两行或者两列结果取相反数、某行乘以k相当于得数乘以k、某行或某列元素可以拆成两个行列式相加、高斯消元过程中行列式的值不变。行列式的按行/按列展开就是 $1)^{i+j}M_{ij}$ ，这些在线代里学过的行列式计算的东西我认为可以不用看，主要考在矩阵的部分，把矩阵中涉及的行列式知识学会就可以，至于直接求行列式的值之类的应该不重要。

以下是矩阵中可能会考到的知识点：

伴随矩阵。矩阵 $A$ 的伴随矩阵是说，求出这个矩阵的每一个元素的代数余子式并且转置。也就是 $A∗=[A11A21A31A12A22A32A13A23A33]A^{*}=left[egin{array}{ccc}A_{11} & A_{21} & A_{31} A_{12} & A_{22} & A_{32} A_{13} & A_{23} & A_{33}end{array} ight]$ 其中 $A_{ij}$ 表示矩阵 $A$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的代数余子式。矩阵的伴随矩阵的行列式就是矩阵的行列式的转置，矩阵的伴随矩阵的逆矩阵就是矩阵的逆矩阵的转置。矩阵的逆矩阵就是伴随矩阵的行列式分之一乘以伴随矩阵，或者换句话说就是 $AA^*=A^*A=|A|E$ 其中 $E$ 为单位矩阵。
秩就是有效方程的个数，就是行阶梯矩阵（行最简矩阵）的行数。秩就代表着解的情况，
- 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，那说明至少有一个系数全为0的式子的结果不为0，无解；
- 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩并且等于未知数的个数，有唯一解；
- 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩但是小于未知数的个数，说明没有足够的式子描述，即有无穷多解。
求矩阵的逆的时候，如果矩阵的逆存在，则必然满秩，则可以通过一系列初等行变换变成单位阵。进行初等行变换可以等价于左乘一个做了这个初等行变换的矩阵，进行初等列变换可以等价于右乘一个这样做了初等列变换的矩阵。这样，如果左乘一个矩阵可以得到单位阵（正是矩阵的逆的定义），那么这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵，同时也是所有的初等行变换矩阵的相乘。换句话说，如果对矩阵 $A$ 和单位阵 $E$ 进行相同的操作，当你把 $A$ 转化成 $E$ 的时候，你就已经将E转化成 $A^{-1}$ 了。
相似对角化是用于求一个矩阵的高次幂的。对于一个仅有主对角线的对角矩阵，他的高次幂为主对角线上的每一个数的高次幂。对于非对角矩阵，我们希望找到一个矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=D$ 其中 $D$ 是一个对角矩阵，这样就可以通过求 $D$ 的高次幂来求 $A$ 的高次幂了。在求 $A$ 的高次幂的过程中，对 $PDP^{-1}$ 多次连乘之后会发现中间的 $P$ 和 $P^{-1}$ 会相互抵消，最后只剩下首尾的 $P$ 和 $P^{-1}$ 以及 $D$ 的高次幂。
对于特征值和特征向量，就是满足 $A x = λ x$ 也就是 $A - λ E = 0$ 从而 $∣ A - λ E ∣ = 0$ 可以解出 $λ$ ，然后代入 $A x = λ x$ 中解出 $x$ 。特征值和特征向量是成对出现的。上一点提到的相似对角化所需要的对角矩阵的这些特征值的作为对角线元素所形成的矩阵， $P$ 就是特征向量依次排列形成的矩阵。其中这些特征值相乘就是原矩阵的行列式（当然了，初等变换不改变行列式的值），这些特征值相加就是原矩阵的迹。
对于满足 $P^{-1}AP=D$ 的两个矩阵，称 $A$ 和 $D$ 相似。其中 $D$ 不必是对角矩阵。相似的两个矩阵的一切数值型的信息都相等，包括行列式、特征值、秩、迹。相似对角化的充要条件是矩阵有足够的线性无关的特征向量，即矩阵的秩等于特征向量的个数。
施密特正交化（真的会有公司考这个知识点吗）：定义 $x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ 也即是向量点乘，那么使用一组线性无关的向量 $α1,α2,α3,⋯lpha_1,lpha_2,lpha_3,cdots$ 可以构造如下的正交向量组 $β1,β2,β3,⋯eta_1,eta_2,eta_3,cdots$ ： $_1&=lpha _1\beta _2&=lpha _2- rac{left( lpha _2,eta _1 ight)}{left( eta _1,eta _1 ight)}eta _1\beta _3&=lpha _3- rac{left( lpha _3,eta _1 ight)}{left( eta _1,eta _1 ight)}eta _1- rac{left( lpha _3,eta _2 ight)}{left( eta _2,eta _2 ight)}eta _2\end{aligned} ight.$
两两正交的单位向量组成的矩阵称为正交矩阵，正交矩阵的性质是 $Q^{T}Q=QQ^{T}=E$ 也即 $Q^{-1}=Q^{T}$ 。
二次型就是 $f(x)=x^{T}Ax$ 其中 $x$ 是一个列向量， $A$ 是一个对称矩阵，他的秩就是这个二次型 $f (x)$ 的秩， $A$ 与 $f (x)$ 是一一对应的。
对于线性变换 $x = C y$ 来说，如果 $C$ 是一个可逆矩阵，那么这个线性变换就是可逆的。对于二次型进行带入可得 $f(x)=x^{T}Ax=y^{T}C^{T}ACy=y^{T}By$ 那我们就说 $B$ 与 $A$ 合同。
正交变换是特殊的线性变换，如果 $A$ 是对称矩阵，那么一定存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{T}AQ=D$ 其中 $D$ 是一个对角矩阵。
如果 $A$ 是一个正定矩阵，那么对应的二次型就是正定二次型，即这个二次型仅在 $x = 0$ 的时候是等于0的，其余时刻均大于0；或者是顺序主子式均大于0，就是从 $a_{11}$ 开始 $n * n$ 大小的行列式。